Generación de variables aleatorias

  Transformada de Laplace ¿Qué es la transformada de Laplace? La  transformada de Laplace  ha sido en los últimos años de gran importancia en los estudios de ingeniería, matemática, física, entre otras áreas científicas, ya que además de ser de gran interés en lo teórico, proporciona una forma sencilla de resolver ecuaciones diferenciales, transformándolas en ecuaciones algebraicas. Originalmente la transformada de Laplace fue presentada por Pierre-Simon Laplace (1745-1827) en su estudio sobre la teoría de la probabilidad, y en principio fue tratada como un objeto matemático de interés meramente teórico. Las aplicaciones actuales surgen cuando diversos matemáticos trataron de dar una justificación formal a las “reglas operacionales” usadas por Oliver Heaviside (1850-1925) en el estudio de ecuaciones de la teoría electromagnética. Definición de la transformada de Laplace Sea f una función definida para t ≥ 0. La transformada de Laplace se define como sigue: Se dice que la transformada d

  REGLAS TRAPEZOIDALES.                REGLA TRAPEZOIDAL SENCILLA. La regla del trapecio o regla trapezoidal es la primera de las fórmulas cerradas de Newton-Cotes. Corresponde al caso en donde el polinomio de aproximación   es de primer orden. Regla del Trapecio . Este nombre se debe a la interpretación geométrica que le podemos dar a la fórmula. El polinomio de interpolación para una tabla que contiene dos datos, es una línea recta. La integral, corresponde al área bajo la línea recta en el intervalo [a,b]  , que es precisamente el área del trapecio que se forma. REGLA TRAPEZOIDAL DE SEGMENTOS MULTIPLES. Una manera de mejorar la exactitud de la regla trapezoidal sencilla es la de dividir el intervalo de integración desde "a" hasta "b" en conjunto de segmentos y aplicar el método a cada uno de los segmentos. En seguida se suman las áreas de los segmentos individuales y se obtiene la integral sobre el intervalo completo. Por consiguiente, hay n segmentos de igual an

Método de composición  El método de composición (conocido también como método mixto) permite generar variables aleatorias x cuando estas provienen de una función de densidad fx qué puede expresarse cómo la combinación convexa de distribuciones de probabilidad fi(x). Para generar valores de variables aleatorias no uniformes es usado el método de composición, en la cual la distribución de probabilidad f(x) se expresa cómo una mezcla de varias distribuciones de probabilidad f(x) seleccionadas adecuadamente. Este procedimiento se basa en el objetivo de minimizar el tiempo de computación requerido para la generación de valores de la variable aleatoria analizada. En ocasiones la densidad de interés se puede expresar como una mixtura discreta de densidades: Donde: Algunas de las distribuciones más conocida que pueden expresarse como una combinación convexa son: triangular, de Laplace y trapezoidal. Ejemplo . Supongamos que deseamos generar valores de una variable aleatoria X  cuya funci

Triángular  Un ejemplo de una combinación convexa es la Distribución triangular que se desarrollara paso a paso: A partir de la función de densidad triángular Calcular la probabilidad de cada uno de los segmentos de la función Ya que los segmentos por separado no son funciones de densidad, se ajustan dividiendo por su correspondiente  Expresando la función como una combinación convexa se obtiene: Donde: Primero integramos para aplicar el método de la transformada inversa a cada segmento de la función: Luego, despejando  x  y sustituyendo en obtenemos: Por último, al expresar la ecuación anterior incluyendo la función indicadora que tenemos que: Ejemplo: Generar una muestra de 5 variables aleatorias con distribución triangular a partir de los parámetros: valor mínimo 5, moda 10 y valor máximo 20. Sustituyendo obtenemos: Al generar una secuencia de números pseudoaleatorios se obtiene la secuencia de variables triangulares que se lista en la siguiente tabla: